Из (1) получаем:

N= (b m h m -1 +...+b)*h +b 0 = N 1 h+b 0 , где 0? b 0 ?h (3)

To есть цифра b 0 является остатком от деления числа N на число h. Неполное частное N l = b m h m -1 + . . . +b 1 представим в виде:

N l = (b m h m -2 + ... + b 2)h + b 1 = N 2 h+b 1 , где 0? b 2 ?h (4)

Таким образом, цифра b i в записи (2) числа N является остатком от деления первого неполного частного N 1 на основание h новой системы счисления. Второе неполное частное N 2 представим в виде:

N 2 = (b m h m - 3 + ... +b 3)h+b 2 , где 0? b 2 ?h (5)

то есть цифра b 2 является остатком от деления второго неполного частного N 2 на основание h новой системы. Так как не полные частные убывают, то этот процесс конечен. И тогда мы получаем N m = b m , где b m

N m -1 = b m h+b m . 1 = N m h+b m . 1

Таким образом, последовательность цифр b m , b m -1 . . ,b 1 ,b 0 в записи числа N в системе счисления с основанием h есть последовательность остатков последовательного деления числа N на основание h, взятая в обратной последовательности.

Рассмотрим пример: Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему счисления:

Таким образом, число 123 10 =7(11) 16 либо можно записать как 7B 16

Запишем число 34022 7 в пятеричной системе счисления:

Таким образом, получаем, что 34022 7 =233331 5

Перевод с использованием десятичной системы счисления.

Любое число в любой системе счисления представимо в виде:

N = a n p n +...+a 1 p+a 0

Таким образом, имея запись числа в таком виде, мы легко можем перевести его в привычную нам десятичную систему счисления. Например

2209 5 =2*5 3 +2*5 2 +0*5 1 +9*5 0 =309 10

Так же, число, представленное в десятичной системе счисления, мы можем расписать по степеням любого другого основания:

220809 7 =2*7 5 +2*7 4 +0*7 3 +8*7 2 +0*7 1 +9*7 0 =38817 7

Таким способом можно перевести числа из одной системы в другую. Например: переведем число 625 7 в 3-ичную систему счисления.

625 7 =6 * 7 2 +2*7 1 +5*7 0 =6*49+2*7+5=31310

313 10 =1*3 5 +0*3 4 +2*3 3 +1*3 2 +2*3 1 +1*3 0 =1*243+2*27+1*9+2*3+1=102120 3

Ответ: 625т=102120 3

Систематические дроби. Перевод дробей в различные системы счисления.

Известно, что десятичная дробь отличается от целого числа только наличием запятой, отделяющей целую часть от дробной, и такое сходство не случайно.

Можно сказать, что запись дробного числа в виде десятичной дроби представляет собой перенесение общего принципа записи чисел в позиционной десятичной системе счисления на дробные числа.

В самом общем случае смешанное число, содержащее целую и дробную части, представляется в виде суммы степеней десятки и

Десятичные дроби являются частным случаем систематических дробей, которые можно строить аналогичным образом для любой позиционной системы счисления.

Например, дробь 5 -1 + 6 -2 + 3 -3 назвать восьмеричной и записать в виде: 0,563 8 .

Правила арифметических действий над с - ичными дробями (основание системы - q) такие же, как и над десятичными, но при действиях с однозначными числами нужно пользоваться таблицами сложения и умножения для данной системы.

Следует заметить, что не всякая простая дробь может быть записана в виде конечной десятичной дроби. Это явление наблюдается и в других позиционных системах счисления. При этом одно и то же число может в одной системе счисления записываться в виде конечной дроби, а в другой - в виде бесконечной.

Например:

При переводе дробей из одной позиционной системы счисления в другую необходимо иметь в виду возможность получения бесконечных дробей.

Общее правило перевода числа в систему счисления с основанием n:

Для перевода целого числа в систему счисления с основанием n его надо последовательно делить на n (отбрасывая остатки), при переводе дроби, меньшей единицы - последовательно умножить на n (отбрасывая целые). Цифрами числа в n - ичной системе счисления в первом случае будут остатки, записанные в обратном порядке, а во втором - целые части, записанные в порядке их получения. Целые и дробные части в смешанном числе переводятся отдельно.

Пример: 378,8359375 10 перевести в систему счисления с основанием q=8

Итак, 378,8359375 10 =572,654 8

Быстрый перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно.

Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2, может производиться более простым алгоритмом.

Для записи двоичных чисел используют две цифры, то есть в каждом разряде числа возможны два варианта записи. Для записи восьмеричных чисел используется восемь цифр, то есть возможны восемь вариантов. А для записи шестнадцатеричных чисел используется 16 цифр, то есть 16 возможных вариантов.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех цифр, то нужно его дополнить нулями слева.

100 101 000 010 2

111 111 101 000 010 000 100 2

А для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное, число разбивают на группы по 4 цифры и следуют тому же алгоритму, что и с

восьмеричной системой счисления.

Например:

1001 0000 1100 0111 0001 2

Например:

1111 1001 1101 000 2

Данное правило работает и наоборот, то есть любое целое число можно перевести из восьмеричной в двоичную и из шестнадцатеричной в двоичную.

Например:

Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе, моделируемых дифференциальными уравнениями

Комплексные числа: их прошлое и настоящее

Логически строгую теорию комплексных чисел построил в XIX в (1835 г) ирландский математик Вильям Роумен Гамильтон. По Гамильтону комплексные числа - это упорядоченные пары z=(x,y) действительных чисел...

Линейные алгебры малых размерностей

Теорема. Следующие условия на алгебру Ли L над кольцом К эквивалентны (с - некоторое натуральное число): 1. Lс {0}, Lс+1={0}; 2. Zc-1(L) L, Zc(L)=L; 3. L обладает конечным центральным рядом длины с и не обладает таким рядом длины с -1; 4...

Математика в средние века

Пользование счетной доской избавляло от необходимости применения таблиц сложения. Поэтому в текстах зафиксированы лишь правила умножения и деления. Пример на умножение: =. Действия производятся, начиная со старших, а не с младших разрядов...

Проектирование уроков математики по теме "Нумерация" с использованием современных средств обучения

Впервые позиционная система счисления возникла в древнем Вавилоне. В Индии система работает в виде позиционной десятичной нумерации с использованием нуля, у индусов данную систему чисел позаимствовала арабская нация, у них, в свою очередь...

Решение математических задач средствами Excel

Упражнение №21. Условие: Вычислить:. Решение: 1) В свободные ячейки вводим комплексные числа 2 + 4i,-3-2i,1-2i,-2+4i. 2) Выделим свободную ячейку и воспользуемся функцией "МНИМ.ПРОИЗВЕД". 3) Выделим свободную ячейку и воспользуемся функцией "МНИМ.РАЗН"...

Система счисления - это способ записи (изображения) чисел. Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: · позиционные, · непозиционные...

Система счисления. Запись действий над числами

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами...

Система счисления. Запись действий над числами

Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII -- XIX вв.). Некоторые идеи, лежащие в основе двоичной системы, по существу были известны в Древнем Китае...

Система счисления. Запись действий над числами

Наиболее часто встречающиеся системы счисления - это двоичная, шестнадцатеричная и десятичная и восьмеричная...

1.1 История возникновения различных систем счисления Первобытному человеку считать почти не приходилось. "Один", "два" и "много" - вот все его числа. Но нам - современным людям - приходится иметь дело с числами буквально на каждом шагу...

Системы счисления и основы двоичных кодировок

Система счисления (Нумерация) - это способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называются цифрами. Путем длительного развития человечество пришло к двум видам систем счисления: позиционной и не позиционной...

Системы счисления и основы двоичных кодировок

В самой древней нумерации употреблялся лишь знак "|" для единицы, и каждое натуральное число записывалось повторением символа единицы столько раз, сколько единиц содержится в этом числе...

Системы счисления и основы двоичных кодировок

Кроме десятичной системы счисления возможны позиционные системы счисления с любым другим натуральным основанием. В разные исторические периоды многие народы широко использовали различные системы счисления...

Урок зачет как одна из форм контроля учебных достижений семиклассников по алгебре

Существуют различные системы контроля: устный и письменный опрос, математический диктант, итоговые контрольные работы, тесты, зачеты, экзамены, повседневные наблюдения за учебной работой учащихся, проверка домашней работы...

| Информатика и информационно-коммуникационные технологии | Планирование уроков и материалы к урокам | 10 классы | Планирование уроков на учебный год (ФГОС) | Арифметические операции в позиционных системах счисления

Урок 15
§12. Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления.

В начальной школе для обучения детей счёту используют таблицы сложения и умножения. Подобные таблицы можно составить для любой позиционной системы счисления.

12.1. Сложение чисел в системе счисления с основанием q

Рассмотрите примеры таблиц сложения в троичной (табл. 3.2), восьмеричной (табл. 3.4) и шестнадцатеричной (табл. 3.3) системах счисления.

Таблица 3.2

Сложение в троичной системе счисления

Таблица 3.3

Сложение в шестнадцатеричной системе счисления

Таблица 3.4

Сложение в восьмеричной системе счисления

q получить сумму S двух чисел А и Б , надо просуммировать образующие их цифры по разрядам i справа налево:

Если a i + b i < q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
если a i + b i ≥ q, то s i = а i + b i - q, старший (i + 1)-й разряд увеличивается на 1.

Примеры:

12.2. Вычитание чисел в системе счисления с основанием q

Чтобы в системе счисления с основанием q получить разность R двух чисел А и В , надо вычислить разности образующих их цифр по разрядам i справа налево:

Если a i ≥ b i , то r i = a i - b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
если a i < b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).

Система счисления (СС)-это совокупность приёмов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов.
Алфавит СС - набор символов(цифр), используемых для записи числа.
Основание СС (мощность алфавита СС) - количество символов(цифр) алфавита СС.
Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные . Непозиционная система счисления - это система, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.
Итак, в непозиционных системах счисления позиция, которую цифра занимает в записи числа, роли не играет. Так, например, римская система счисления непозиционная. В числах XI и IX "вес” обоих цифр одинаков, несмотря на их месторасположение.

Позиционные системы счисления

Итак, мы сказали, что в позиционных системах счислениях имеет значение позиция, которую цифра занимает в записи числа. Так, запись 23 означает, что это число можно составить из 3 единиц и 2 десятков. Если мы поменяем позиции цифр, то получим совсем другое число – 32. Это число содержит 3 десятка и 2 единицы. «Вес» двойки уменьшился в десять раз, а «вес» тройки в десять раз возрос. Развернутая запись числа
Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде многочлена от p :
N=a k p k + a k-1 p k-1 +a k-2 p k-2 +...+a 1 p 1 +a 0 p 0 +a -1 p -1 +a -2 p -2 +...,
где N - число, p - основание системы счисления (p>1), a i - цифры числа (коэффициенты при степени p).
Числа в p-ой системе счисления записываются в виде последовательности цифр:
N=a k a k-1 a k-2 ...a 1 a 0 , a -1 a -2...
Запятая в последовательности отделяет целую часть числа от дробной.
3210 -1-2
N=4567,12 10 =4 *10 3 +5 *10 2 +6 *10 1 +7 *10 0 +1 *10 -1 +2 *10 -2

Двоичная система счисления

Двоичная арифметика

Сложение

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
1+1+1=11

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или больше основания системы счисления. Для двоичной системы счисления эта величина равна двум.
Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствие с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов с старшие.

Вычитание

0-0=_0
0-1=11
1-0=1
1-1=0

Умножение

0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с приведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Деление